Способ подготовки ГИА

Как готовиться к ГИА

Как готовиться к ГИА? Часто этот вопрос становится серьёзной проблемой для школьника и родителей. Выбрать ли репетитора, найти курсы, или есть другой способ?  ...

Видео уроки ЕГЭ 2018 профильный уровень

Видео уроки ЕГЭ 2017Бесплатные видео уроки ЕГЭ 2018 по математике профильного уровня. Можно использовать для домашней подготовки или учителем для работы в классе ...

Видео уроки ЕГЭ 2018 база

Видео уроки ЕГЭ 2014 Видео уроки ЕГЭ 2018 по математике базовый уровень. Обучение всем приемам решения. Можно использовать для домашней подготовки или учителем для работы в классе ...

Видео уроки ОГЭ 2018 (ГИА)

Видеоуроки ГИАБесплатные видео уроки ОГЭ 2018 по математике (ГИА-9). Обучение всем приемам решения. Можно использовать для домашней подготовки или учителем для работы в классе ...

Результаты ЕГЭ

Результаты ЕГЭ Как подсчитывают результаты ЕГЭ? Как оцениваются ваши знания; что такое шкалирование; первичные и тестовые баллы? Давайте разберемся! ...

Задания В8 ЕГЭ по математике. Производная и первообразная функции / Корянов А.Г., Надежкина Н.В.

Задания В8 Производная и первообразная функции

Задания типа В8: Производная и первообразная функции. Задачи из открытого банка ЕГЭ по математике

Данное пособие содержит:

  • разбор заданий на нахождение производных и первообразных, графики функций;
  • решение прототипов задания В8 ЕГЭ открытого банка по математике;
  • дополнительные задачи и ответы.

 


Авторы:

Корянов А.Г. (г. Брянск);
Надежкина Н.В. (г. Иркутск)


Введение

1

1. Геометрический смысл производной

4

2. Физический (механический) смысл производной

6

3. График функции

8

4. График производной функции

26

5. Первообразная функции

46

6. Дополнительные задачи

53

Решения заданий-прототипов

62

Ответы

75

Список и источники литературы

76

Элементы содержания, проверяемые заданиями В8 по кодификатору:

4.1. Производная.
4.2. Исследование функции.
4.3. Первообразная и интеграл.

Проверяемые требования (умения) в заданиях В8 по кодификатору:

3.1. Определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения; строить графики изученных функций.
3.2. Вычислять производные и первообразные элементарных функций.
3.3. Исследовать в простейших случаях функции на монотонность, находить наибольшие и наименьшие значения функций.

Данное пособие является восьмым в серии пособий для подготовки к части В ЕГЭ по математике и посвящено решению задачи В8 (по нумерации ЕГЭ 2012-2013 года) – так называемой «задачи на производную и интеграл». По новой нумерации (ЕГЭ 2014) теперь это задача В9, которая входит в первую часть экзаменационного варианта. Можно сказать, что теперь это самая сложная задача из негеометрических задач первой части экзамена.

Средний процент правильных ответов к совершенно «стандартной» задаче В8 на определение углового коэффициента касательной по ее графику – 64,8% (ЕГЭ 2012). Это довольно низкий процент, если учесть то, что большинство задач В8 (особенно задачи «с графиками») либо решается устно, либо для их решения требуется короткая цепочка несложных вычислений. Причины, на наш взгляд, следующие. Во-первых, эта задача на материал курса алгебры и начал 10-11 классов, для освоения которого необходима достаточная база знаний программы основной школы, которой, к большому сожалению, нет сейчас у многих старшеклассников. Во-вторых, несмотря на невысокий уровень сложности самого задания, спектр проверки понимания темы «производная» в этом задании, к примеру, довольно широк – предлагаются и задачи на геометрический и механический смысл производной, и задачи с множе-

ством ситуаций, описывающих связь между поведением функции и ее производной. В-третьих, для решения большинства задач В8 требуется не просто непосредственно применить алгоритм (что можно сделать, например, при решении простейших уравнений), а самостоятельно проанализировать ситуацию и сделать вывод. Даже в случае крайней простоты анализа все это требует от старшеклассников некоторых усилий, к которым не все готовы.

Как же подготовить обычного старшеклассника к решению любого задания В8? Один из эффективных способов состоит в следующем. После полного завершения изучения темы «Производная и ее применение» можно организовать повторение в форме подготовки к решению задачи В8, предусмотрев на это несколько учебных часов. Необходимо повторить с краткой записью на доске и в тетрадях понятие геометрического смысла производной, условие параллельности двух прямых и решить задачи 1.1.1-1.5.1, 3.9.1.-3.14.1, 4.13.1-4.15.1 данного пособия с полным разбором и аккуратной записью решения. Затем повторить с краткой записью на доске и в тетрадях понятие механического (физического) смысла производной и решить задачи 2.1.1-2.5.1 данного пособия, также с полным разбором и аккуратной записью решения. Построить на доске и в тетрадях краткую таблицу соответствия между поведением функции и поведением ее производной и решить все оставшиеся задачи с графиками функции и производной функции, кроме двух последних серий задач на одном графике, при необходимости с неоднократной ссылкой на эту таблицу. Аналогичные задачи (1.1.2-1.5.2 и т.д.) предложить для решения дома. На следующем уроке сверить ответы, разобрать ошибки и задать еще одно домашнее задание – задачи 1.1.3-1.5.3 и т.д., или те самые две серии задач на одном графике. Задачи 5.1.1-5.4.1 можно разобрать аналогично после полного изучения темы «Первообразная и интеграл».

Функция у = f(x)

Производная y = f'(X)

возрастает

f'(x) > 0

убывает

f'(x) < 0

имеет экстремум

f'(x) = 0, меняет знак

имеет максимум

f'(x) = 0, меняет знак с «+» на «-»

имеет минимум

f'(x) = 0, меняет знак с «-» на «+»

После повторения, организованного в такой форме, основные подходы к решению задач В8 будут ясны для большинства учащихся. Как показывает репетиторский опыт и результаты решения задания В8 на диагностических работах и реальном ЕГЭ, надежды на то, что, изучив тему «Производная и ее применение» по школьному учебнику, учащиеся «сами догадаются», как решить любую задачу В8, чаще всего не оправдываются. Возможно, и догадаются, но далеко не все и не факт, что любую задачу.

Что делать в плане подготовки к решению В8 со слабо мотивированными учащимися с крайне низким уровнем знаний? На первом этапе подготовки к ЕГЭ (до 8 верно решенных заданий в произвольном варианте) – сосредоточиться на других заданиях, допускающих решение по простым алгоритмам. Далее – разобрать некоторые простые В8, также допускающие решение по алгоритмам (например, нахождение углового коэффициента касательной или площади трапеции геометрическими методами). Только при наличии времени для дальнейшей подготовки и ощутимом прогрессе ученика стоит попробовать научить его анализу ситуаций с графиками, причем в первое время с непосредственной опорой на таблицу соответствия поведения функции и ее производной.

В качестве практического материала при составлении данного пособия авторами были использованы задачи «от составителей» из «открытого банка заданий» [5], а также некоторые избранные задачи из диагностических и тренировочных работ МИОО и задачи из изданий «Типовых тестовых заданий» [2], [3].

Структура пособия такова, что задачи из «открытого банка заданий», наряду с фиксированным номером из открытого банка заданий (он расположен в скобках непосредственно перед текстом задачи), имеют также собственную тройную нумерацию внутри каждого раздела. Все типы задач из «открытого банка заданий» систематизированы по содержанию. Каждый тип задачи представлен тремя задачами (первая из этих трех задач и есть прототип данного типа задач), что позволяет учащемуся при необходимости неоднократно проверить себя, а учителю

  • использовать дополнительные задания в виде отдельных, уже готовых трех вариантов для домашних или проверочных работ. Таким образом, первое число в тройной нумерации каждой задачи означает номер раздела, второе число – номер типа задачи внутри раздела, третье число
  • номер задачи внутри типа (или номер варианта).

Для первых задач каждого типа представлены подробные решения, для всех задач есть ответы.

Мы постарались сделать так, чтобы пособие было полезно и для ученика практически любого уровня подготовки, и для учителя, и для репетитора. Ответы и решения задач-прототипов представлены отдельно для того, чтобы в конкретном экземпляре пособия можно было легко оставить только нужную форму ответов или решений для проверки либо самопроверки. Например, в экземплярах пособий, предлагаемых для уверенных в своих силах учеников, можно вообще убрать и ответы, и решения. Для менее уверенных в своих силах учащихся можно оставить только решения задач-прототипов. Для учителя и репетитора необходимы как раз ответы ко всем задачам для упрощения процесса проверки и оценки домашних и самостоятельных работ.

ЕГЭ по математике, Задание В8, производная первообразная и график функции



Вы здесь: ЕГЭ I ГИА Подготовка к ЕГЭ Теория и практика к заданиям ЕГЭ по математике: теория и практика В8 ЕГЭ по математике Задания В8 ЕГЭ по математике. Производная и первообразная функции / Корянов А.Г., Надежкина Н.В.