ВВЕДЕНИЕ.............................................................................................................5
ГЛАВА 1 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ...............................................7
§ 1. Что такое параметр........................................................................7
§ 2. Различные формулировки задач с параметрами.........................8
Задачи для самостоятельного решения.....................................10
ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА......13
§ 1. Линейные уравнения...................................................................13
§ 2. Линейные неравенства................................................................18
Задачи для самостоятельного решения.....................................22
ГЛАВА 3 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ...............................25
Задачи для самостоятельного решения.....................................50
ГЛАВА 4 КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА.................................53
Задачи для самостоятельного решения.....................................72
ГЛАВА 5 ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ
КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА......................................75
§ 1. Уравнения и неравенства............................................................75
§ 2. Дополнительный материал по алгебре.......................................91
§ 3. Продолжение исследования уравнений и неравенств...............96
Задачи для самостоятельного решения...................................102
ГЛАВА 6 ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ 107
§ 1. Угол наклона прямой.................................................................107
§ 2. Уравнение прямой.....................................................................108
§ 3. Геометрический смысл параметров прямой............................108
§4. Графики линейных функций.....................................................108
§ 5. Вспомогательные задачи..........................................................111
§ б. Параллельность и перпендикулярность прямых......................113
§ 7. Графическое решение уравнений и неравенств.......................117
§ 8. Сечение семейством прямых у = а...........................................119
§9. Сечение семейством прямых у = х + а......................................123
§10. Сечение семейством прямых у = ах........................................129
§ 11. Касание параболы и прямой...................................................133
Задачи для самостоятельного решения...................................152
ГЛАВА 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ..................155
§ 1. Вводные замечания...................................................................155
§ 2. Исследование линейных систем методом подстановки...........157
§ 3. Соотношения между коэффициентами системы
в зависимости от числа решений...............................................172
§4. Геометрическая интерпретация решений.................................175
Задачи для самостоятельного решения...................................176
ГЛАВА 8 СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ............179
§ 1. Методы решения.......................................................................179
Задачи для самостоятельного решения...................................190
§ 2. Аналитические методы исследования
нелинейных систем с параметрами.........................................191
Задачи для самостоятельного решения...................................206
§ 3. Графические методы исследования
нелинейных систем с параметрами.........................................208
Задачи для самостоятельного решения..................................232
ГЛАВА 9 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ НА
ЕДИНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ ...235
Задачи для самостоятельного решения...................................271
О I В г. I Ы..........................................................................................................275
Глава 1......................................................................................275
Глава 2......................................................................................275
Глава 3......................................................................................277
Глава 4......................................................................................279
Глава 5......................................................................................283
Глава 6......................................................................................288
Глава 7......................................................................................296
Глава 8......................................................................................298
Глава 9......................................................................................306
ЛИТЕРАТУРА.............................................................................................313

Еще совсем недавно, каких-то 10-15 лет назад, задачи с параметрами встречались на вступительных экзаменах в вузах с самым высоким уровнем математики. Сейчас это уже элемент единого государственного экзамена. Хотя на ЕГЭ встречается всего одна-две задачи с параметрами, но те школьники, которые хотят получить высший балл по ЕГЭ, должны уметь их решать.
Отметим также, что многие вузы проводят собственные олимпиады по математике, результаты которых учитываются при поступлении и которые также включают задачи с параметрами. По задачам с параметрами уже вышел ряд книг и пособий. Но большинство из них предполагают наличие у школьника высокой математической культуры, а также значительного объема математических фактов, которые в школе изучаются весьма поверхностно или совсем не изучаются. Поэтому школьникам обычных школ зачастую эти книги недоступны для понимания. Разобраться в них могут только школьники продвинутых математических классов.
Мне хотелось написать книгу по задачам с параметрами, которую в состоянии освоить школьник обычной школы, разумеется, при желании и затрате достаточного количества сил и времени. Поэтому:
1.  Все математические факты, которые в школе почти не изучаются, но необходимые для решения задач с параметрами, подробно излагаются в тексте книги. В первую очередь это построение множеств точек на плоскости, построение графиков с модулями, монотонность функций, методы решения нелинейных систем уравнений и т. д.
2. В каждой главе книги разбираются 15-25 задач, посвященных определенной теме, которые охватывают практически все вопросы, касающиеся данной темы. При этом первые задачи каждой главы разбираются очень подробно, чтобы отчетливо были видны методы их решений и идеи, на которых они построены.
3. Задачи, в которых наибольшие трудности - логические, разбираются сначала на конкретных числовых примерах и лишь затем дается решение в общем виде.
Такой подход дает возможность школьнику самостоятельно освоить различные методы решения задач с параметрами.
Книга включает в себя 9 глав. В первой главе объясняется, что такое параметр и что значит решить задачу с параметрами, а также в какой форме могут быть даны ответы к этим задачам.
Главы 2-4 посвящены линейным и квадратным уравнениям и неравенствам с параметрами. Это одни из основных глав книги, поскольку большинство задач с параметрами в школьном курсе так или иначе сводятся к исследованию линейных и квадратных уравнений и неравенств. Глава 5 посвящена уравнениям и неравенствам, заменой переменной сводящихся к квадратным.
В главе 6 рассмотрены графические методы решения задач с параметрами. Значительное число разобранных примеров показывает, как использование графиков позволяет упростить решение, сделать его наглядным, отбросить рассмотрение ненужных случаев. Главы 7 и 8 посвящены исследованию линейных и нелинейных систем уравнений. И, наконец, в 9-ой главе разбираются задачи, предлагавшиеся как на самом едином государственном экзамене, так и при подготовке к нему.
В конце каждой главы даются задачи для самостоятельного решения. Они разбиты на две части. В первой части предлагаются стандартные для данной темы задачи, во второй части - более трудные. Большинство из них снабжены указаниями и решениями.
Отметим также, что очень часто различные методы и приемы исследования уравнений и неравенств с параметрами разбираются в книге на одном и том же квадратном трехчлене. Это нисколько не уменьшает общности изложения материала, но дает возможность школьнику не следить каждый раз за вычислительными деталями, а сосредоточиться непосредственно на логической стороне вопроса исследования задач с параметрами.
За исключением глав 5 и 9 книга доступна школьникам, начиная с 8-9 классов. (В главах 5 и 9 требуется знание материала, который в школьном курсе изучается в 10 и 11 классах). Эти главы без ущерба для понимания остального материала можно пропустить и вернуться к ним, когда в школе будет пройден соответствующий материал. Следует отметить, что некоторые разделы задач с параметрами, например, иррациональные и логарифмические уравнения и неравенства, координатно-параметрический метод и некоторые другие темы, в этой части книги не рассмотрены. Они будут рассмотрены во второй части этой книги.
В заключение автор приносит самую искреннюю благодарность Громыко В.И., Трифонову Н.П., Фридман М.Н. за ценные советы и замечания, направленные на улучшение книги и подготовку книги к печати.
Все отзывы и пожелания, касающиеся данной книги, просьба направлять по адресу: Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.
Автор.

Скачать книгу