Предисловие.........................................................................................3
Глава 1. Действительные числа.........................................................5
1.1. Элементы теории множеств и математической логики...........-
1.2. Множество натуральных чисел.................................................6
1.3. Множество рациональных чисел.............................................13
1.4. Действия с действительными числами................................... 16
1.5. Отношения и пропорции........................................................20
1.6. Задачи для самостоятельного решения..................................22
1.7. Ответы к задачам для самостоятельного решения.................23
Глава 2. Алгебраические выражения..............................................24
2.1. Основные понятия...................................................................-
2.2. Многочлены............................................................................25
2.2.1. Формулы сокрашённого умножения..............................-
2.2.2.  Многочлены от одной переменной...............................26
2.2.3.  Квадратный трёхчлен....................................................29
2.2.4.  Разложение многочлена на множители........................30
2.3. Алгебраические дроби............................................................32
2.4.  Иррациональные выражения.................................................36
2.5. Задачи для самостоятельного решения..................................40
2.6. Ответы к задачам для самостоятельного решения..................—

Глава 3. Алгебраические уравнения, неравенства и системы.......41
3.1.  Рациональные уравнения........................................................—
3.1.1.  Уравнения с одной переменной......................................-
3.1.2. Линейные уравнения......................................................—
3.1.3.  Квадратные уравнения..................................................42
3.1.4.  Рациональные уравнения высших степеней.................45
3.1.5. Дробно-рациональные уравнения................................49
3.2.  Рациональные неравенства.....................................................51
3.3. Уравнения и неравенства, содержащие переменную
под знаком модуля..................................................................57
3.3.1.  Уравнения, содержащие знак модуля.............................-
3.3.2.  Неравенства, содержащие знак модуля........................63
3.4.  Иррациональные уравнения и неравенства..........................70
3.4.1.  Иррациональные уравнения..........................................—
3.4.2.  Иррациональные неравенства......................................79
3.5. Системы алгебраических уравнений и неравенств................84
3.5.1.  Системы рациональных уравнений...............................—
3.5.2.  Системы иррациональных уравнений..........................90
3.5.3.  Системы уравнений с параметрами..............................92
3.5.4.  Системы неравенств с двумя переменными.................94
3.6. Текстовые задачи....................................................................96
3.7. Задачи для самостоятельного решения.................................100
3.8.  Ответы к задачам для самостоятельного решения................101
Глава 4. Числовые последовательности........................................102
4.1. Основные понятия...................................................................-
4.2. Арифметическая прогрессия.................................................103
4.3.  Геометрическая прогрессия..................................................108

4.4.  Смешанные задачи на прогрессии........................................112
4.5. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия...........114
4.6. Задачи для самостоятельного решения.................................117
4.7.  Ответы к задачам для самостоятельного решения................118
Глава 5. Функции и графики...........................................................119
5.1.  Определение функции и способы её задания..........................-
5.2. Общие свойства функции.....................................................122
5.2.1.  Чётные и нечётные функции .........................................-
5.2.2. Убывание и возрастание функций...............................127
5.2.3.  Периодические функции.............................................128
5.2.4.  Наибольшее и наименьшее значения функции. Ограниченные функции..............................................130
5.3. Обратная функция.................................................................131
5.3.1.  Взаимно однозначное отображение...............................-
5.3.2. Обратная функция.......................................................132
5.3.3.  График обратной функции..........................................133
5.4. Основные элементарные функции.........................................—
5.4.1. Степенная функция у = ха.............................................-
5.4.2.  Показательная и логарифмическая функции..............135
5.4.3. Тригонометрические функции.....................................137
5.4.4.  Обратные тригонометрические функции....................141
5.5. Суперпозиции функций и их графики..................................146
5.5.1. Сложная функция...........................................................—
5.5.2. Основные приёмы построения графиков функций .... 147
5.6. Задачи для самостоятельного решения.................................152
5.7. Ответы к задачам для самостоятельного решения................153

Глава 6. Тригонометрия...................................................................154
6.1. Тригонометрические преобразования и вычисления.............-
6.2. Действия с обратными тригонометрическими функциями . 159
6.3. Тригонометрические уравнения и системы..........................162
6.4. Тригонометрические неравенства.........................................171
6.5.  Задачи для самостоятельного решения.................................173
6.6.  Ответы к задачам для самостоятельного решения................174
Глава 7. Логарифмические и показательные уравнения
и неравенства.....................................................................175
7.1. Тождественные преобразования и вычисление показательных и логарифмических выражений.....................-
7.2.  Показательные уравнения.....................................................179
7.3. Логарифмические уравнения................................................184
7.4.  Уравнения, содержащие логарифмическую
и показательную функции.....................................................189
7.5.  Системы показательных и логарифмических уравнений.....191
7.6.  Показательные и логарифмические неравенства.................192
7.7.  Задачи для самостоятельного решения.................................197
7.8.  Ответы к задачам для самостоятельного решения................198
Глава 8. Элементы математического анализа..............................199
8.1.  Производная............................................................................—
8.1.1. Вычисление производных...............................................-
8.1.2.  Касательная к графику функции..................................201
8.1.3.  Механический смысл производной.............................205
8.2.  Исследование функции с помощью производной...............206
8.2.1.  Признаки возрастания и убывания функции................—
8.2.2.  Критические точки функции, максимумы
и минимумы................................................................209
8.2.3. Наибольшее и наименьшее значения функции...........214
8.3. Задачи для самостоятельного решения.................................217
8.4.  Ответы к задачам для самостоятельного решения................219
Глава 9. Геометрия...........................................................................220
9.1.  Векторы....................................................................................-
9.2. Метод координат на плоскости и в пространстве.................224
9.3. Планиметрия.........................................................................232
9.4.  Стереометрия.........................................................................240
9.5.  Задачи для самостоятельного решения.................................252
9.6. Ответы к задачам для самостоятельного решения..................-
Глава 10. Разные задачи..................................................................253
10.1.  Задачи для самостоятельного решения..................................-
10.2.  Ответы, указания, решения.................................................258
Тренировочные задания базового уровня......................................281

Книга, которую вы держите в руках, предназначена главным образом для выпускников общеобразовательных учреждений (школ, гимназий, лицеев и т. п.) и ориентирована на подготовку к успешной сдаче ЕГЭ и обучению в вузе.
Данный сборник не заменяет школьные учебники, а лишь является дополнением к учебному курсу по математике, расширяющим математический кругозор читателя.
Содержание книги соответствует действующим программам по математике и охватывает следующие темы школьного курса: действительные числа, алгебраические выражения, функции, графики, рациональные и иррациональные уравнения и неравенства, системы алгебраических уравнений, задачи на составление уравнений, логарифмические и показательные выражения, уравнения, неравенства и системы, тригонометрические выражения, уравнения, неравенства и системы, уравнения комбинированного типа, задачи с параметром, элементы математического анализа, векторы, планиметрия и стереометрия.
Первые 9 глав посвящены разбору задач, различных по уровню сложности: базовый, повышенный и высокий, что соответствует дифференциации заданий ЕГЭ по математике. В общей сложности в этих главах разобраны решения более 400 заданий. Для обоснования решения заданий в каждой из 9 глав приводится необходимый справочный материал. Каждая глава заканчивается подборкой задач для самостоятельного решения по данной теме. Все задачи снабжены ответами и дифференцированы по уровням сложности, а именно: задачи повышенного уровня отмечены знаком «*», высокого уровня — знаком «**», задачи базового уровня без отличительных отметок.
В десятой главе предлагаются задачи, решение которых базируется на материале предыдущих 9 глав. Эти задачи дифференцированы по уровню сложности и снабжены ответами, указаниями к решению или подробным решением.
Предложенные в сборнике задачи для самостоятельного решения рекомендуем решать не в разбивку, а следуя порядку размещения глав. Лишь после ознакомления с теоретической частью каждой из 9 глав, изучения предложенных задач с решениями целесообразно приступать к выполнению задач для самостоятельного решения в той последовательности, в которой они предложены. Разумеется, нет необходимости переходить от одной главы к другой именно в том порядке, в котором они расположены в книге. Например, для углубления знаний по тригонометрии необязательно изучать предыдущие разделы сборника. Однако если вас заинтересуют задачи десятой главы, то для их успешного решения необходимо ознакомиться достаточно подробно с содержанием предыдущих глав, так как именно там вы сможете найти приёмы и методы решения этих задач.
Авторы рекомендуют вам попытаться решить заинтересовавшую вас задачу самостоятельно, не заглядывая в указание или в решение. При совпадении ответа полезно сравнить своё решение с приведённым решением в сборнике. Если полученный вами ответ не совпадает, то, изучив приведённое решение, найдите ошибку в своём решении. Этот порядок может быть нарушен по отношению к задачам, отмеченным знаками «*» или «**». При определённых затруднениях рекомендуем сначала ознакомиться с указаниями или найти аналогичную решённую задачу, предложенную в сборнике.
Сборник является первой частью учебно-методического комплекса, включающего также контрольно-измерительные материалы для подготовки к ЕГЭ-2011 г.
Контрольно-измерительные материалы составлены по образцу заданий ЕГЭ и войдут во вторую часть комплекса.
Надеемся, что предложенный сборник поможет вам успешно сдать ЕГЭ —2011. Желаем удачи.

Скачать книгу